intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin 8x cot x , dx | vedclass

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Question

(D) माना $I = I_1 + I_2$,जहाँ $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 8x \cot x \, dx$ और $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \frac{1

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$\frac{\pi }{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = I_1 + I_2$,जहाँ $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 8x \cot x \, dx$ और $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right) dx$. $I_2$ के लिए,$f(x) = \ln \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right)$ लें। चूँकि $f(-x) = -f(x)$,यह एक विषम फलन है। अतः,$I_2 = 0$. अब,$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 8x \cos x}{\sin x} \, dx$. सर्वसमिका $\frac{\sin 8x}{\sin x} = 2(\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x)$ का उपयोग करने पर: $I_1 = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x) \cos x \, dx$. $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर: $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 8x + 2\cos 6x + 2\cos 4x + 2\cos 2x + 1) \, dx$. समाकलन करने पर: $I_1 = \left[ \frac{\sin 8x}{8} + \frac{\sin 6x}{3} + \frac{\sin 4x}{2} + \sin 2x + x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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